これは[物理屋さん]山本屋本舗 提供の解説記事です。記事の目次はこちら。

前のページに戻る

付録：固有ベクトルの座標空間への変換行列を求める

この冊子では神がかり的な直観(?)で、

$$A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 1&1 \\ 1&-2 \\ \en... ...ray}\right) \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2&1 \\ 1&-1 \\ \end{array}\right)$$

とか

$$A=\frac{1}{8} \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 2&6&2 \\ -2&2&2 \\... ...) \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 1&0&2 \\ 1&1&0 \\ 0&3&2 \end{array}\right)$$

なんて形を出していました。

特にこの一番右の、固有ベクトルの方向を座標軸とするような空間への変換行列 を求める作業、自分の文章ながら説得力不足という気がして仕方ありません。 $2\times 2$の行列までなら、こういう直観的なやり方で苦労はしないのですが、 $3\times 3$の行列ではかなり大変でした。 実際、私は答えを先に作っておいてから行列$A$の形を導入したのだから、ほと んど反則をしています。

この変換行列を求める方法、 浪人の頃はもっと機械的な作業でやっていた気がするんだけどなぁ… と、この行列群を眺めていました。

すると一番右の変換行列じゃなくて、その逆行列-- 一番左の行列 --から不思 議な印象を受けました。 一番左の行列って、元の行列の固有ベクトルを左から順に並べたものになってい ますねぇ…。

$2\times 2$の行列の式に注目してみると、固有値$3$に対応する固有ベクトル $\vec{x}=\left(\begin{array}{@{}c@{}} 1 1 \end{array}\right)$ が1列目にあって、2列目は固有値$9$に対応する固有ベクトル $\vec{x}=\left(\begin{array}{@{}c@{}} 1 -2 \end{array}\right)$ が現れています。

$3\times 3$の行列の場合でも同じことが言えます。 変換行列の逆行列(一番左の式)は、 固有値$1$に対応する固有ベクトル $\vec{x}=\left(\begin{array}{@{}c@{}} 2 -2 3 \end{array}\right)$、 固有値$3$に対応する固有ベクトル $\vec{x}=\left(\begin{array}{@{}c@{}} 6 2 -3 \end{array}\right)$、 固有値$2$に対応する固有ベクトル $\vec{x}=\left(\begin{array}{@{}c@{}} -2 2 1 \end{array}\right)$ を順に並べたものになっています。

そう眺めてから考えてみると、この「固有ベクトルを順に並べた行列が一番左に くる」というルールは、どんなときでも成り立ちそうです。 以下ではその理由を考えてみましょう。

$(x,y,z)$という元のデカルト座標系から、固有ベクトルの方向へ移る変換行列 を$V$と書くことにしましょう。ここではまだ$V$の具体的な形はわかっておらず、 行列$A$の固有ベクトルだけは求めたという状態とします。 (議論の大筋に関係ないので、 $\frac{1}{3}$とか $\frac{1}{8}$といった分数の 部分は書かずに話を進めます) $V$を固有ベクトルに作用させてみましょう。

$$V\left(\begin{array}{@{}c@{}} 2 -2 3 \end{array}\right)$$

ということを考えたら、この変換後の値は1つ目の成分にしか値を持たないはず ですね。だって、その固有ベクトルの方向を1つ目の軸にするのですから。式で 書いたら、

$$\left(\begin{array}{@{}c@{}} ?? 0 0 \end{array}\right) = V\left(\begin{array}{@{}c@{}} 2 -2 3 \end{array}\right)$$

ということ。 そして、この新しい座標軸の目盛りについては何でもよいので、この固有ベクト ルの長さを1と考えることにしましょう。ここで、新しい座標軸の目盛りを指定し ていることになります。 つまり$V$は、

$$\left(\begin{array}{@{}c@{}} 1 0 0 \end{array}\right) = V\left(\begin{array}{@{}c@{}} 2 -2 3 \end{array}\right)$$

という性質を持っていることにします。 同じことを2つ目、3つ目の固有ベクトルについても考えて、それぞれの座標軸の 目盛りを決めます。

$$\left(\begin{array}{@{}c@{}} 0 1 0 \end{array}\right) = V\left(\begin{array}{@{}c@{}} 6 2 -3 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{@{}c@{}} 0 0 1 \end{array}\right) = V\left(\begin{array}{@{}c@{}} -2 2 1 \end{array}\right)$$

このように取り決めて、出してきた式をまとめて行列で表記すると、

$$\left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{ar... ...left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 2&6&-2 \\ -2&2&2 \\ 3&-3&1 \end{array}\right)$$

となります。 この式から、

$V$は行列 $\left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 2&6&2 \\ -2&2&2 \\ 3&-3&1 \end{array}\right)$ の逆行列である。

という結論、もしくは同じ意味ですが、

固有ベクトルを並べた $\left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 2&6&2 \\ -2&2&2 \\ 3&-3&1 \end{array}\right)$ は、$V$の逆行列になっている。

ということを主張できます。

そんなわけで、固有ベクトルの方向を軸とするような空間への変換行列を求めた いというとき、

ということが言えます。

これで、もっと行や列の数が増えたときでも、機械的に変換行列を求めることが できるようになり…ましたよね??

次のページ(奥付)へ進む