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行列が3×3正方行列のとき

最後に$A$が$3\times 3$正方行列のときでも、同じことが言えることを見ていき ましょう。 そろそろ私も書き飽きたし、みなさんも読み飽きたころでしょうから細かい計算 ははしょっていきます。

ここでもまた 具体的な行列で考えていくことにして、

$$A=\frac{1}{8} \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 20&6&-4 \\ 4&18&4 \\ -6&-3&10 \\ \end{array}\right)$$

としていきましょう。

固有値と固有ベクトルを規定する式は $A\vec{x}=a\vec{x}$でした。 この式を変形すると、

$$\frac{1}{8} \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 20-8a&6&-4 \\ 4&18-8a&4 \\ -6&-3&10-8a \\ \end{array}\right) \vec{x} =0$$

この式から、面白くもない$\vec{x}=0$以外の解を見出すためには、

$$\det \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 20-8a&6&-4 \\ 4&18-8a&4 \\ -6&-3&10-8a \\ \end{array}\right) =0$$

でないといけない。この条件式を解くと、 固有値として、

$$a=1,3,2$$

という値が得られます。

それぞれの固有値に対応する固有ベクトルの式を求めましょう。 今度は3次元空間中で直線の式を求めるのだから、それぞれの固有値につき平面 を表す式が2つずつ得られることでしょう。

$a=1$に対応する固有ベクトル:

$$\vec{x}=\left( \begin{array}{@{}c@{}} x y z \end{array}\right)$$

とすると、得られる式は、

$$\left\{ \begin{array}{@{ }l} 6x+3y-2z=0 \\ 2x+5y+2z=0 \\ \end{array}\right.$$

の2つ。もっと単純な形として、

$$\left\{ \begin{array}{@{ }l} x+y=0 \\ 3y+2z=0 \\ \end{array}\right.$$

を採用しておきましょう。

$a=3$に対応する固有ベクトル:

同じように計算を進めます。得られる式は、

$$\left\{ \begin{array}{@{ }l} -2x+3y-2z=0 \\ -6x-3y-14z=0 \\ \end{array}\right.$$

の2つ。もっと単純な形として、

$$\left\{ \begin{array}{@{ }l} x+2z=0 \\ 3y+2z=0 \\ \end{array}\right.$$

を採用します。

$a=2$に対応する固有ベクトル:

これも同じく計算を進めます。 得られる式は、

$$\left\{ \begin{array}{@{ }l} 2x+3y-2z=0 \\ 2x+y+2z=0 \\ \end{array}\right.$$

の2つ。もっと単純な形として、

$$\left\{ \begin{array}{@{ }l} x+y=0 \\ x+2z=0 \\ \end{array}\right.$$

を採用します。

固有ベクトル方向への写像として、

$$\left( \begin{array}{@{}c@{}} X Y Z \end{array}\right) = \lef... ... \end{array}\right) \left( \begin{array}{@{}c@{}} x y z \end{array}\right)$$

としましょう。もちろん、これ以外 の変換行列を使っても問題ありません。 ここでは固有ベクトルの方向へ移すことが大事なのであって、それぞれの座標軸 の目盛りについてはなにも言っていません。その点が、この変換行列を自由に選 べる理由の根底にありそうです。 とにかくここでは、 上のように選びました²。

この$(X,Y,Z)$から元の$(x,y,z)$に戻るために逆行列を求めると、

$$\left( \begin{array}{@{}c@{}} x y z \end{array}\right) = \fra... ... \end{array}\right) \left( \begin{array}{@{}c@{}} X Y Z \end{array}\right)$$

が得られます。

よって、いま考えている行列$A$は

$$A= \frac{1}{8} \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 2&6&-2\\ -2&2&2\\... ... \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 1&0&2\\ 1&1&0\\ 0&3&2\\ \end{array}\right)$$

と書き表わすことができます。このように書くと、累乗計算は楽になり、

$$A^n = \frac{1}{8} \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 2&6&-2\\ -2&2&... ... \left( \begin{array}{@{}ccc@{}} 1&0&2\\ 1&1&0\\ 0&3&2\\ \end{array}\right)$$

のように行うことができます。

これらは「もともと考えている座標系から 固有ベクトルの方向を軸とする座標に移り、 行列の効果を考えた後で、 元の座標系に戻る」という操作をしているのでした。

以上で$3\times 3$の正方行列に対する具体例もお終い。

やっていませんがもっと一般に$n\times n$の行列、 行列に限らず一般の演算子についても、同様に考えることができると思います³。

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