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行列の累乗計算

固有値と固有ベクトルを利用して、どんな行列だって書き表わすことが可能です。 それは固有ベクトル方向の座標系へ移る操作をして、それぞれの方向を固有値倍 してから、元の座標系へ戻るという操作を行列で書き表わすということ。

行列$A$の固有値が$a,b$だったとしましょう。 対応する固有ベクトル方向の座標系への変換を表す行列を$V$と書くことにしま す。固有値と固有ベクトルを使った行列の書きなおしは、

$$A =V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array}\right) V$$

という形になります。

$$VV^{-1}=I$$

という性質($I$は単位行列)を思い出しておくと、

$$A^2 =V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array}... ...t) V V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array} \right) V$$

$$=V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array}... ...ay} \right) \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array} \right) V$$

$$=V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a^2 & 0 0 & b^2 \end{array} \right) V$$

$$A^3 =V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array}... ...t) V V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array} \right) V$$

$$=V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array}... ...} \right) \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a & 0 0 & b \end{array} \right) V$$

$$=V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a^3 & 0 0 & b^3 \end{array} \right) V$$

といったことが確認できます。

もっと一般にも、

$$A^n =V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a^n & 0 0 & b^n \end{array} \right) V$$

となります。

この

$$A^n =V^{-1} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} a^n & 0 0 & b^n \end{array} \right) V$$

という式、先ほどの「行列を掛けるというのは、固有ベクトルの方向に固有値 倍するという効果」ってことを思い出すとよく理解できるのではないでしょうか。

「行列を$\vec{x}$に$n$回掛け算するというのは、$\vec{x}$を固有ベ クトル方向$(X,Y)$に移して、$X$を対応する固有値倍(の$n$回繰りかえし)して、 $Y$を対応する固有値倍(の$n$回繰りかえし)してから、元の座標系に戻る」とい うことを意味していますね。

			$(X,Y)$座標系に移って、
		$X$座標を	$a^n$倍、 $Y$座標を$b^n$倍して、
	元の	$(x,y)$座標	に戻る。

ということです。

話が冗長になってしまいましたが、言いたいことは

• 固有値と固有ベクトルは、 行列の計算がしやすい空間への写像と その空間での計算ルールを定めている。
• 固有値と固有ベクトルを求めるという作業は、 その行列の特徴的な性質を抜き出すことを行っている。

ということです。

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