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行列を固有ベクトルで表現しなおす

ここまでで見たように、行列をベクトルに作用させるというのは、その行列の固 有ベクトルの方向へそれぞれ固有値倍するという効果があります。 ということは、もともと単純なデカルト座標(直交座標)$(x,y)$を使っていたと ころを、一旦、2本の固有ベクトルの方向を座標軸とする空間へ移ってしまった らどうでしょうか。

新しい座標軸を大文字を使って$(X,Y)$と書くことにして、

といったことを考えるわけです。

この新たな座標軸の空間に移れば、行列を掛けるという操作がそれぞれの座標軸 の成分を固有値倍するという操作になります。作業を少し単純化できますね。

それでは、 新しい座標軸に移るという操作を、どのように書き表わせばいいでしょうか¹。 新しい座標$X$の成分というのは、 $$\left(\begin{array}{@{}c@{}} ?? 0 \end{array}\right)$$ という形をしているはずです。 また新しい座標$Y$の成分は、 $$\left(\begin{array}{@{}c@{}} 0 ?? \end{array}\right)$$ という形をしているはずですね。 さらにそれぞれの固有ベクトルの式は

$$\left\{ \begin{array}{@{ }c} x-y=0 2x+y=0 \end{array}\right.$$

であったことを思い出しておきましょう。

とすると、新しい座標系への変換は、

$$\left( \begin{array}{@{}c@{}} X Y \end{array}\right) = \left( \... ...1&-1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{@{}c@{}} x y \end{array}\right)$$

とすれば、うまく行きそうです。 これならば、$X$軸($x-y=0$)上の点は $$\left(\begin{array}{@{}c@{}} ?? 0 \end{array}\right)$$の形になるし、$Y$軸($2x+y=0$)上の点では $$\left(\begin{array}{@{}c@{}} 0 ?? \end{array}\right)$$ の形になります。

それでは、この$(X,Y)$の座標系で計算をした後、元の$(x,y)$座標に戻るにはど うしたらいいでしょうか？ そのためには、 行列 $$\left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2&1 1&-1 \end{array}\right)$$ の逆行列を左から掛ければいいですね。

$$\left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2&1 1&-1 \end{array}\right)^{-1}... ...1&-1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{@{}c@{}} x y \end{array}\right)$$

$$\Downarrow$$

$$\left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2&1 1&-1 \end{array}\right)^{-1}... ... Y \end{array}\right) = \left( \begin{array}{@{}c@{}} x y \end{array}\right)$$

逆行列が存在しているかどうかはよく考えないといけない問題ですが、 この場合ちゃんと存在しているので大丈夫。

$$\left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2&1 1&-1 \end{array}\right)^{-1} = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 1&1 1&-2 \end{array}\right)$$

です。(逆行列の求め方は他を参照してください)

念のため確認しますか?

$$\frac{1}{3} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2&1 1&-1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 1&1 1&-2 \end{array} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2+1&2-2 1-1&1+(-1)(-2) \end{array} \right)$$

$$= \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 1&0 0&1 \end{array} \right)$$

$$\frac{1}{3} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 1&1 1&-2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2&1 1&-1 \end{array} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 2+1&1-1 2-2&1+(-2)(-1) \end{array} \right)$$

$$= \left( \begin{array}{@{}cc@{}} 1&0 0&1 \end{array} \right)$$

…大丈夫ですね。

これで、いつでも元の座標空間$(x,y)$に戻ることができます。

$$\left( \begin{array}{@{}c@{}} x y \end{array}\right) = \frac{1}... ...1&-2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{@{}c@{}} X Y \end{array}\right)$$

という変換をすればいいわけです。

さて準備が整ったところで、行列$A$ってなんだったか思い出してみると、 「行列$A$は、それぞれの固有ベクトルの方向を固有値倍する」という効果があ るのでした。つまり「行列$A$を$\vec{x}$に掛け算するとき、$(X,Y)$の座標系 に移って、$X$成分を対応する固有値として3倍、$Y$成分を9倍して、$(X,Y)$か ら$(x,y)$の座標に戻る」という操作をすればいいわけです。 そのことをちゃんと式で表すならば、

$$A \left( \begin{array}{@{}c@{}} x y \end{array}\right) = \frac... ... -1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{@{}c@{}} x y \end{array}\right)$$

となります。

この操作を細かく見てくならば、

		$\qquad\uparrow$
		$(X,Y)$座標系に移る。
	$\quad \uparrow$
	$X$座標を3倍、	$Y$座標を9倍して、
$\qquad\uparrow$
元の$(x,y)$	座標に戻る。

ということをしています。

つまり

$$A = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{@{}rr@{}} 1 & 1 1 & -2 \e... ...rray}\right) \left( \begin{array}{@{}rr@{}} 2 & 1 1 & -1 \end{array}\right)$$

ということを主張しているわけですが、この右辺を計算すると、正しく

$$A=\left( \begin{array}{@{}rr@{}} 5 & -2 \\ -4 & 7 \end{array}\right)$$

となっていることが確かめられますね。

これが行列を固有値と固有ベクトルを使って表現しなおしたもの。 行列$A$は、

$$\left( \begin{array}{@{}rr@{}} 5 & -2 -4&7 \end{array}\right) ... ...rray}\right) \left( \begin{array}{@{}rr@{}} 2 & 1 1 & -1 \end{array}\right)$$

です。 もしくは具体的な逆行列の形を書かずに、

$$\left( \begin{array}{@{}rr@{}} 5 & -2 -4&7 \end{array}\right) ... ...rray}\right) \left( \begin{array}{@{}rr@{}} 2 & 1 1 & -1 \end{array}\right)$$

としていてもいいでしょう。 この表現を使うと、$A$の累乗計算などが簡単にできるようになります。

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