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行列をベクトルに作用させる効果は

いま考えている$A$の具体形はそのまま使います。そして固有ベクトルとは異な るベクトル$\vec{v}$にこの行列$A$を作用させるということを考えてみましょう。 行列を作用させる前のベクトルが、どんな位置に移動するのかを図にしてみましょ う。

具体的には

$$A=\left( \begin{array}{@{}rr@{}} 5&-2 -4&7 \end{array}\right) \qquad \vec{v}=\left(\begin{array}{@{}c@{}} 3 0 \end{array}\right)$$

を用いることにします。

このベクトル$\vec{v}$に行列$A$を作用させるとどうなるか。まずはそのまま計 算してみましょう。

$$\left( \begin{array}{@{}rr@{}} 5&-2 -4&7 \end{array}\right) \l... ... \end{array}\right) = \left(\begin{array}{@{}c@{}} 15 -12 \end{array}\right)$$

となりますね。図に描くと、

です。

この $(x,y)=(3,0)$という位置が $(x,y)=(15,-12)$という位置へ動いている様子 が、固有値と固有ベクトルとどう関係があるか見るために、固有ベクトルの直線 を引いてみましょう。点線で表します。

もとの $(x,y)=(3,0)$という位置が、この固有ベクトルの直線の方向にどれだけ の成分を持っていたか考えてみると、

こんな感じの図になるでしょう。 $(x,y)=(3,0)$という位置から、それぞれの固有ベクトルに平行な直線を引いて います。その直線と$x-y=0$、$2x+y=0$との交点が、それぞれの軸方向の成分と なります。

行列が作用した後の $(x,y)=(15,-12)$という位 置についても考えると、

といったところでしょうか。

こうやって、固有ベクトルの方向に成分を考えていくと、行列を作用させるとい うことと固有値/固有ベクトルの関係が見えてきます。 実際に交点の座標を$(x,y)$で求めてみると、次の 図のようなことが分かります。

いかがでしょうか。 固有ベクトル方向の成分を、それぞれ対応する固有値倍したものが、行列 を作用させた後の位置になっているのです。 (一度ご自分の手で交点の座標を求めて、行列を作用させた後の成分がちゃんと3 倍、9倍になっていることをご確認ください)

具体例を示しただけで一般的な証明はしていませんが、

ということが見てとれます。 (この冊子では一般的な証明はやりません)

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