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行列が2×2の正方行列のとき

次は$2\times 2$正方行列。ここから少し意味のある話になると思います。

一般論よりも具体例を考えたほうがイメージを持ちやすいと思うので、行列$A$ の形を先に与えてしまいましょう。

$$A=\left( \begin{array}{@{}rr@{}} 5 & -2 \\ -4 & 7 \end{array}\right)$$

とします。

まずはこの行列$A$の固有値と固有ベクトルを求めます。 固有値$a$と固有ベクトル$\vec{x}$というのは、

$$A\vec{x}=a\vec{x}$$

を成り立たせるようなもの。右辺を左辺に持っていって、

$$(A-aI)\vec{x}=0$$

いきなり出てきた$I$というのは $A$と同じ $2\times 2$の行列で、対角成分が全て1、それ以外は0という単位行列を表す記 号とします。つまり $$I=\left(\begin{array}{@{}rr@{}} 1&0 0&1 \end{array}\right)$$ ということです。$A$の値はすでに決めているので、先の条件式を具体的に書くと

$$\left( \begin{array}{@{}cc@{}} 5-a & -2 \\ -4 & 7-a \end{array}\right) \vec{x}=0$$

という式になります。 これが固有値と固有ベクトルを決める条件式です。

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