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ひとつ目の固有ベクトル

まず$a=3$に対応する固有ベクトルを求めます。先ほどの $A\vec{x}=a\vec{x}$の 具体形に$a=3$を代入してみましょう。すると、

$$\left( \begin{array}{@{}cc@{}} 5-a & -2 \\ -4 & 7-a \end{array}\right) \vec{x}=0$$

$$\downarrow$$

$$\left( \begin{array}{@{}rr@{}} 2 & -2 \\ -4 & 4 \end{array}\right) \vec{x}=0$$

となります。$\vec{x}$も具体的にしばらく $\vec{x}=\left(\begin{array}{@{}c@{}} x y \end{array}\right)$ と書くことにします。すると、

$$\left( \begin{array}{@{}rr@{}} 2 & -2 \\ -4 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{@{}c@{}} x y \end{array}\right) =0$$

$$\downarrow$$

$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y=0\\ -4x+4y=0 \end{array}\right.$$

となります。最後の2つの式は、同じものを指していますね。

$$x-y=0$$

というのが、固有ベクトルを指定する式です。

固有ベクトルというのはベクトルなんだから、当然 なにかしら直線の式が出てくるはず。そして期待通りに直線を表す式$x-y=0$と いうものが得られました。

この条件式を満たせばいいのだから、固有値$a=3$に対応する固有ベクトルは例 えば

$$\vec{x}= \left(\begin{array}{@{}c@{}} 1 1 \end{array}\right)$$

というものを考えることができます。(他の形でも$x-y=0$を満たせばいいんです )

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