この記事の元 : 2005年度講義での配布資料

剛体の運動の決め方

山本明

2005.12.14

12月14日に配布した資料のHTML版を以下に公開します。印刷する方はPDF版をご利用ください。

簡単な剛体の運動を求める方法について、まとめておきます。
これまでの講義の復習のポイントも書いておきますので、参考にしてください。復習のポイントについては、教科書・講義ノートを見返すとき重点的に眺めるようにしてください。

1 剛体の運動方程式

剛体とは大きさを持った物体である。そのため質点で取り扱った平行移動に加えて、回転について考慮しなければならない。つまり並進の運動方程式と回転の運動方程式の2種類を状況に合わせて立てて、それらを解くことで、剛体の運動は定まる。

1.1 問題を解く手順(参考程度に)

働いている力の大きさ、方向を図に描き入れる。力がどの位置に働いているかにも注意すること。重力は剛体の重心の1点にかかっていると見なす。

並進の運動方程式を立てる。(重心の位置を求める)

回転の運動方程式を立てる。(慣性モーメントを計算する)

上記の運動方程式を組み合わせて、解く。

初期条件を課して、特殊解を求める。

1.2 並進の運動方程式

剛体の全運動量 $\vec{P}=\sum\vec{p}$ の時間変化に対する式が、剛体の並進運動を決める式となる。

重心に剛体すべての質量が集ったとみなし、外力の影響もすべてその重心にかかっているとして、あたかも質点におけるNewton方程式を立てれば良い。つまり重心の位置ベクトルを $\vec{r}_G$ 、外力の和を $\vec{F}_o$ と書いたとき、

$\displaystyle M\frac{d^2\vec{r}_G}{dt^2}=\vec{F}_o$

が並進の運動方程式となる。

は剛体の全質量。

1.3 回転の運動方程式

剛体の全角運動量 $\vec{L}=\sum\vec{r}\times\vec{p}$ の時間変化に対する式が、剛体の回転運動を決める式となる。

ここでは力が働いている位置も重要になる。さらに回転軸がどうなるかも重要なのだが、ひとまず話を単純にするために、回転軸は軸であるとする。そのとき軸まわりの回転の角速度の大きさを $\omega$ 、外力から生じる力のモーメントの和の成分を、慣性モーメントをと書いて、

$\displaystyle I\frac{d\omega}{dt}=N_z$

が回転の運動方程式となる。なおここに表われる慣性モーメント

は

$\displaystyle I=\int dv \Bigl[\rho(x^2+y^2)\Bigr]$

で求められる。

ただし回転軸がこのように軸に固定されていない場合は、角速度ベクトルを $\vec{\omega}=\left( \begin{array}{@{}c@{}} \omega_x \omega_y \omega_z \end{array} \right)$ として、

$\displaystyle \left( \begin{array}{@{ }c@{ \quad}c@{ \quad}c@{ }} I_{xx} ... ...gin{array}{@{ }c@{ }} N_x [1.5em] N_y [1.5em] N_z \end{array} \right)$