この記事の元 : 演習の授業風景¹ 問題を解くための物理の教科書 (電磁気)

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4. コンデンサーと静電エネルギー

前回と前々回の2回で、電荷の配置がわかったときの電場の求め方を勉強しました。それでは次に「磁石の力」についてお話を…としてもいいんですが、もうちょっと練習をしてから、磁石の力の話に移ることにしましょう。

今回はコンデンサーというものと、帯電している物体が持つ静電エネルギーについて説明します^4.1。

4.1 コンデンサー

コンデンサーとは特別な形状をした導体の組み合わせで、電荷を溜めておくための装置です。

真空中に点電荷がぽつんと置いてあったとしましょう。そのとき、その電荷はどこからも力を受けないので、それはそのまま居続けるでしょう。ここでもし同じ電荷を持つ点電荷が、近くにやってきたとします。そしたらどうなるでしょう。お互いの点電荷同士が反発し合って、どちらも遠くへ飛んでいってしまうでしょうね。では、正負の符号が違う電荷同士だったら、どうでしょうか。これはお互いが引き寄せ合って、どちらの点電荷にとっても居心地がいい状態になります。

つまりコンデンサーは電荷を溜めておく装置だと言いましたが、最も単純なタイプとして「2枚の導体板を平行に近づけて固定しておく」というものを考えることができます。導体板が接してしまってはいけないけれど、すぐ近くに固定しておくことにします。片方の板に正の電荷が溜まっていたら、向かい合わせの導体板には負の電荷が溜まるようにしておくと、お互いの電荷が引きつけ合う効果によって、電荷をそこに蓄えておくことができるわけです。

コンデンサー：向かい合った導体同士で電荷を溜めておく装置

導体板と言いましたが、これを「極板」と呼ぶことにしましょう。片方の極板に電荷がだけ留められていたとします。そのとき、もう片方の極板に存在している電荷の量がどれだけになるか、想像できるでしょうか? これは、符号だけ替えたの電荷がそこに留められることになります。極板には電荷が密集することになりますから、極板の中では電荷(電子)同士は互いに反発し合いますね。それなのに電荷が散り散りにならないのは、向かい合わせの極板にある符号違いの電荷によって引き寄せられているからです。引き寄せてくれる電荷の量よりたくさんの電荷が、そこに止まることはできないんです。

このように、それぞれの極板にとの電荷が留められているとき、そのコンデンサーには「電荷が蓄えられている」と表現します。電荷と言っただけで、片方の極板に、他方の極板にの電荷が存在しているとわかるわけです。

さてそんなコンデンサーですが、極板の大きさ、極板間の距離に応じて、どれだけの電荷を蓄えることができるか違ってきますね。さらに極板の材質にも依るでしょうし、なによりいま話した単純な仕組みじゃなくて、もっと複雑な仕組みのコンデンサーだったりしたら、蓄えられる電荷の量はバラバラです。

そこで「コンデンサーの性能を示す数値」を用意しましょう。このような数字を考えます。

コンデンサーの「容量」:

(コンデンサーの性能を示す数値)

蓄えられた電荷を

、極板間の電位差を $\Delta\phi$ として、

$\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta\phi}$

という計算で求める。

このような“容量”という数字がコンデンサーの性能を示す数値です。容量が大きければ、少ない電位差でたくさんの電荷を溜めることができる。容量が小さいコンデンサーは、あまりたくさんの電荷を溜めておくことはできない…というわけです。

電気回路では、この電荷を一時溜めておく装置“コンデンサー”はとても大事になってきます。ですが、そういった話は電気回路の話として別のところで聞いてください。今回は、単純にいくつかの形のコンデンサーの「容量」を計算する練習をしてみたいと思います。

4.2 コンデンサーの容量の求め方

マニュアル化しすぎるのは良くないかもしれませんが、一応手順をまとめておきましょう。

コンデンサーの容量の求め方(手順)

1. 極板間の電場 $\vec{E}$ を求める。(ガウスの法則?)
2. 極板間の電位差を求める。極板の位置を

と

と表記したら、

$\displaystyle \Delta\phi=\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}$

という計算で求められる。
3. 求めた電位差 $\Delta\phi$ で、蓄えられている電荷の総量

を割る。

$\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta\phi}$

電荷の分布の仕方は、すでにわかってるものとします。つまり蓄えられる電荷は先にわかっている状態です。

電荷配置がわかっていれば、電場を求めることはできますね。それは前回と前々回でやった話です。問題として出題されるときは、ガウスの法則が使える便利な問題が多いかもしれません。そうでなければクーロンの法則から、電場を求めましょう。

電場が求められたら、そこから電位を計算することもできますね。これは前々回にやったと思います。電場を無限遠方から特定の距離まで積分したものが電位です。

$\displaystyle \phi_A=-\int_{\infty}^{A} \vec{E}\cdot d\vec{r}$

これは極板

の位置の電位。極板

についても同じく

$\displaystyle \phi_B=-\int_{\infty}^{B} \vec{E}\cdot d\vec{r}$

と書けますね。電位差というのは、この2つの量の引き算だから、

$\displaystyle \Delta\phi$	$\displaystyle =-\int_{\infty}^{A} \vec{E}\cdot d\vec{r} -\bigl( -\int_{\infty}^{B} \vec{E}\cdot d\vec{r} \bigr)$
	$\displaystyle =+\int^{\infty}_{A} \vec{E}\cdot d\vec{r} +\int_{\infty}^{B} \vec{E}\cdot d\vec{r}$
	$\displaystyle = \int^{B}_{A} \vec{E}\cdot d\vec{r}$

となります。この最後の式で計算するならば、空間全体の電場 $\vec{E}$ がわからなくても、極板間の電場さえわかれば計算できるので、便利です。

ここまで計算できたら、蓄えられる電荷と電位差の両方がわかったのだから、あとは容量と呼ばれる量を計算するだけ。

$\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta\phi}$

という量を容量と呼んでいるのでした。

4.3 コンデンサーに蓄えられるエネルギー

そろそろ実際に手を動かして計算してみたくなってるかもしれませんね。だけど先にあと一つ。コンデンサーに蓄えられるエネルギーのお話をしておきます。

これには、2つの点電荷を特定の距離だけ離して置いておくときに蓄えられる静電エネルギーを思い出しましょう。そもそも電位というのは、エネルギーを楽に求めるためにあらかじめ計算しておこうとしていた量でした。その地点での電位に電荷を掛け算すれば、2つの点電荷の静電エネルギーは計算できますね。

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \text{(2つの点電荷)}\\ \text{. }\qquad\qq... ..._2 \\ \,\phi_1\qquad\qquad \phi_2 \end{array} \right] \text{の静電エネルギー} =$	$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \text{電荷$q_1$があって、}\\ \text{無限遠方から電荷$q_2$を}\\ \text{運んでくるときに必要な仕事} \end{array} \right]$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \, -\int_{\infty}^{\text{考えてる位置}} q_2 \vec{E}\cdot d\vec{r}$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \, q_2\times \Bigl(-\int_{\infty}^{\text{考えてる位置}}\vec{E}\cdot d\vec{r} \Bigr)$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \, q_2 \phi_2$

となります。なお、ここで $\phi_1$ というのは点電荷

が存在している位置での電位、 $\phi_2$ というのは点電荷

が存在している位置での電位を表しています。

上に書いた式では、電荷が存在しているときに、無限遠方から電荷を持ってくるという操作を考えました。電場が $\vec{E}$ のとき、電荷には $q_2\vec{E}$ という力が働きます。その力に逆らって、積分をしてくるわけです。

だけどこれ、逆の視点で見ることもできますね。つまり、先に電荷があって、あとから電荷を運んできた…とみても同じ状況を作り出せます。つまり、

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \text{(2つの点電荷)}\\ \text{. }\qquad\qq... ..._2 \\ \,\phi_1\qquad\qquad \phi_2 \end{array} \right] \text{の静電エネルギー} =$	$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \text{電荷$q_2$があって、}\\ \text{無限遠方から電荷$q_1$を}\\ \text{運んでくるときに必要な仕事} \end{array} \right]$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \, -\int_{\infty}^{\text{考えてる位置}} q_1 \vec{E}\cdot d\vec{r}$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \, q_1 \phi_1$

と書くことも可能ですね。2つの点電荷の配置に蓄えられているエネルギーを

と書くことにすると、

$\displaystyle U= q_1 \phi_1$

であるのと同時に、

$\displaystyle U= q_2 \phi_2$

であるわけです。このどちらの計算をしても、同じ結果が出てきます。

同じ結果が出てくるならば、まあ計算しやすい方で計算すればいいわけですが、なんか電荷1だけに注目したり電荷2だけに注目したり、どうも式の形が落ち着かないなぁと思って、思い切ってこの2つの式を足し算してしまいましょう。そうすると、

$\displaystyle 2U = q_1 \phi_1 + q_2 \phi_2$

となりますね。両辺を2で割り算すれば、

$\displaystyle U = \frac{1}{2}( q_1\phi_1+q_2\phi_2 )$

という表式が出てきます。なんとなく、電荷1と電荷2が平等に扱われているようで、気持ちよくはないですか? この式も、先に書いてた

の式と同じ結果を与えます。そしてコンデンサーに蓄えられるエネルギーを考えるときは、この最後の形を利用します。

コンデンサーは片方の極板に、他方の極板にの電荷が蓄えられています。そして、それぞれの極板での電位を $\phi_A$ , $\phi_B$ と表記することにしましょう。コンデンサーの極板はもちろん大きさを持っていますが、回路全体で眺めてみればほとんど意味がないですね。そこでコンデンサーに蓄えられるエネルギーを求めるには、思い切って極板の位置に点電荷があると考えてしまいます。さっきの式で、

$\displaystyle q_1 \,$	$\displaystyle \rightarrow\,+Q$
$\displaystyle q_2 \,$	$\displaystyle \rightarrow\,-Q$
$\displaystyle \phi_1 \,$	$\displaystyle \rightarrow\,\phi_A$
$\displaystyle \phi_2 \,$	$\displaystyle \rightarrow\,\phi_B$

とするわけです。すると、

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \text{(コンデンサー)}\\ \left. \begin{arr... ... \phi_B \end{array} \right. \end{array} \right] \text{に蓄えられるエネルギー} =$	$\displaystyle \frac{1}{2}\bigl( Q\phi_A+(-Q)\phi_B \bigr)$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} Q$ $( \phi_A-\phi_B )$
	$\displaystyle \qquad\quad \uparrow$
	極板間の電位差 $\displaystyle \Delta\phi$

となります。つまり、

コンデンサーに蓄えられるエネルギー : $\displaystyle U=\frac{1}{2}Q\Delta\phi$

ということです。

ちなみに $C=Q/\Delta\phi$ という関係式を使って、

$\displaystyle U=\frac{1}{2}Q\Delta\phi=\frac{1}{2}C(\Delta\phi)^2 =\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$

と書き換えることもできます。これらはどれも同じ量を表しているので、覚えやすい形で覚えておきましょう。

4.4 問題練習(コンデンサーの容量・蓄えられるエネルギー)

それでは、そろそろ問題練習に入りましょう。はじめの問題は、前々回にもやった問題。ちょっと頭をほぐすために入れておきます。

問題17 (点電荷のつくる電位と電位差)

原点に点電荷があるとき、

(1) 原点からだけ離れた点につくられる電場 $\vec{E}$ を求めよ。

(2) 無限遠点の電位を0として、原点からだけ離れた点の電位 $\phi$ を求めよ。

(3) 原点からだけ離れた点とだけ離れた点の電位差を求めよ。

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この問題についてはいいですよね。できれば(1)はガウスの法則から電場を出してみましょう。そして電場を積分すれば電位差が出てきます。無限遠方を基準にした電位差のことを単に「電位」と呼んだりしています。
さて、頭の体操を終えたら、いよいよコンデンサーの問題です。

　
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問題18 (平行平板コンデンサー)

平行平板コンデンサー(極板間の間隔を,極板の面積をとする)にの電荷が蓄えられている。

(1) ひとつの極板の作る電場は、極板を無限に広い板と近似して計算できる^4.2。極板間の電場の大きさを求めよ。

(2) 極板間の電位差 $\Delta\phi$ を求めよ。

(3) このコンデンサーの容量を求めよ。

(4) このコンデンサーが持っている静電エネルギーを求めよ。

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(1)はガウスの法則で電場を出しましょう。もちろんクーロンの法則でも計算できますが、途中計算は大変です。
(2)通常、このように無限に電荷が分布している場合、無限遠方を基準にした電位差というのを考えることはできません。無限遠方にも電荷が存在しているからです。だから、いつも計算しているように「電位」を出すことはできませんが、いまコンデンサーの話をしている限りは、極板間の電位差がわかれば十分なのです。そして極板間の電場がわかっていれば、極板間の電位差を計算することができます。
(3)(4)極板間の電位差がわかれば、あとはもう蓄えられている電荷の総量もわかっていますから…

　
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問題19 (円筒型コンデンサー)

半径 $R_{1}$ , $R_{2}$ $(R_{1}<R_{2})$ の無限に長い２つの円筒が、中心軸を同じにするように置かれている。外側の円筒を接地し、内側の円筒に電荷を与えると、これはコンデンサーになる。

内側の円筒に蓄えられている電荷の分布密度を単位面積あたり $\rho$ であるとする。このコンデンサーの軸方向の単位長さあたりの容量と蓄えられている静電エネルギーを求めよ。

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極板間の電場は、円筒が無限に長いおかげでガウスの法則を使って計算できるはずです。容量を求めるには、電場を出して極板間の電位差を計算して…とやっていくわけですが、無限に長い円筒の一部分(例えば高さ $\ell$ の部分)だけに注目して、単位長さあたりの容量を求めてみましょう。

　
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問題20 (球形コンデンサー)

半径 $R_{1}$ の導体球がある。その球を半径 $R_{2}$ の球殻(導体)で、中心が同じになるように覆った。中央の球にの電荷を与えたとき、次の問題に答えよ。

(1) 球の中心からだけ離れた点での電場 $\vec{E}(r)$ と電位 $\phi(r)$ を求めよ。ただし、 $r=R_{1},R_{2}$ の電場については考えなくてよい。

外側の球殻を接地^4.3した。

(2) 球殻を接地する前と後で、電荷の配置はどのように変化するだろうか? 電荷の分布する様子を接地前と接地後の２通り図示せよ。なお、電荷がどこに分布するかよくわかるように描くこと。

(3) この球と球殻をコンデンサーとみなした場合の、コンデンサーの容量を求めよ。

(4) このコンデンサーに蓄えられる静電エネルギーを求めよ。

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接地するというのは、その部分と地面を導線で結んで、同じ電位にするということ。地面からは必要に応じていくらでも電荷がやってくるし、電荷はいくらでも地面に逃げていくことが可能になると思ってください。
接地の前後で、電荷の分布の仕方が変化します。球殻の外側と内側の表面にどんな電荷が存在するかということに注目して、接地前後を考えてみてください。

　
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4.5 電荷がたくさんあるときの静電エネルギー

コンデンサーに蓄えられるエネルギーを考えるとき、せっかく2つの点電荷が蓄える静電エネルギーというのを考えましたので、ついでに2つじゃなくて、たくさんの点電荷が存在しているとき、その電荷分布が蓄えている静電エネルギーというのも考えておきましょう。

これはまず結果の式を示しておきます。電荷の番号を $1,2,3,\cdots$ とすると、静電エネルギーは、

$\displaystyle U=\frac{1}{2}(q_1\phi_1+q_2\phi_2+q_3\phi_3+\cdots )$

となります。「それぞれの電荷と、その電荷が存在している位置の電位を掛け算して、すべての電荷について足し算する。最後にそれを2で割り算する」というわけです。

これは電荷が2つあるときの話を拡張していけば、こうなると想像できませんか? ひっかっかる場所があるとすれば、分数の $\frac{1}{2}$ の部分でしょうか。この係数、電荷の数が個だったら $\frac{1}{n}$ になったりしないの??と疑問に思われるかもしれません。これについては、単純な場合で確認してみましょう。点電荷が3つあるときです。

$\displaystyle \begin{array}{cll} 　 \text{(点電荷が3つある場合)} &\qquad\qquad\... ...ad\\ 　 \text{.} & \text{.} & \text{ .} \\ 　 q_1 & q_2 & q_3 \\ \end{array}$

さらに、今度はそれぞれの電荷がそれぞれの電荷の位置に、電位を作っているので、「電荷

が電荷

の位置に作る電位」を $\phi_{1\rightarrow 2}$ と表記することにしましょう。 $\phi_{2\rightarrow 3}$ と書いたら、電荷

が電荷

の位置に作る電位です。

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \\ \text{静電エネルギー}\\ \\ \end{arr... ...謀轍q_3$、鯡妓賊麒��藥�辰乳\\ \text{くるときの仕事}\\ \end{array}\right]$

と考えたとします。この考えは間違いありません。このような考えで計算すると、

$\displaystyle U= q_2\phi_{1\rightarrow 2} +q_3(\phi_{1\rightarrow 3} +\phi_{2\rightarrow 3} )$

となりますね。無限遠方から

を持ってくるのに必要な仕事が $q_2\phi_2$ で、

を持ってくるときは電荷

だけでなく電荷

がつくる電位もあるってことに注意しましょう。

ここでまた考え方を逆にしてみます。電荷を持ってくる順番を逆にして、

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \\ \text{静電エネルギー}\\ \\ \end{arr... ...謀轍q_3$、鯡妓賊麒��藥�辰乳\\ \text{くるときの仕事}\\ \end{array}\right]$

と考えて、静電エネルギーを計算してみましょう。すると、

$\displaystyle U= q_2\phi_{3\rightarrow 2} +q_1(\phi_{2\rightarrow 1} +\phi_{3\rightarrow 1} )$

という形になりますね。

さっきの式と両辺足し算してみましょう。

$\displaystyle 2U=$	$\displaystyle \, q_2\phi_{1\rightarrow 2} +q_3(\phi_{1\rightarrow 3} +\phi_{2\rightarrow 3} )$
	$\displaystyle \, +q_2\phi_{3\rightarrow 2} +q_1(\phi_{2\rightarrow 1} +\phi_{3\rightarrow 1} )$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \, q_1(\phi_{2\rightarrow 1} +\phi_{3\rightarrow 1} ) +q_2(\phi_{... ...2} +\phi_{3\rightarrow 2} ) +q_3(\phi_{1\rightarrow 3} +\phi_{2\rightarrow 3} )$

となりますね。

ここで $\phi_{2\rightarrow 1} +\phi_{3\rightarrow 1}$ というのは、電荷と電荷が電荷の位置につくる電位を足し算したものです。つまりこれが電荷が存在している位置の電位というわけで、改めてこれを $\phi_1$ と書きましょう。 $\phi_1 \equiv \phi_{2\rightarrow 1} +\phi_{3\rightarrow 1}$ です。同様に電荷の位置の電位と電荷の位置の電位も考えて、

$\displaystyle 2U= q_1 \phi_1 + q_2\phi_2 + q_3\phi_3$

となります。よって、

$\displaystyle U= \frac{1}{2} ( q_1 \phi_1 + q_2\phi_2 + q_3\phi_3 )$

ですね。

このように考えてみると、これが3個でなくて、もっとたくさんあった場合も同じように考えられますよね。1番目の電荷が存在していたと考えて番号順に無限遠方から持ってくる…と考えた場合と、逆の順序で持ってくる場合。それぞれの考え方で静電エネルギーを計算して、足し算をすると…という流れです。

番目の電荷に対して $q_i \phi_i$ という量を考えて、すべての電荷に対して足し算していくというのは、「1番目の電荷が先にあって2番目の電荷を持ってきた…と考えるエネルギー」と「2番目の電荷が先にあって1番目の電荷を持ってきた…と考えるエネルギー」という同じ量を2重に足し算しているというわけです。だから、静電エネルギーを計算したいときは、2で割ればいい。そんなことで、係数は $\frac{1}{2}$ になるのです。

まとめておきます。

電荷が複数あるとき、その電荷分布に蓄えられている静電エネルギー:

$\displaystyle U$	$\displaystyle =\frac{1}{2}(q_1\phi_1+q_2\phi_2+q_3\phi_3+\cdots )$
	$\displaystyle = \frac{1}{2}\sum_{i}q_{i}\phi _{i}$

2行目は、ちょっと格好良く書こうと思って、 $\sum$ 記号を使ってみました。

ちなみに電荷がこのようにバラバラに配置しているのでなく、連続的に分布しているときも同じように考えることができます。そのときは足し算する代わりに積分をするだけです。それぞれの位置での電荷密度を $\rho$ と書けば、微小体積の中にある電荷は $\rho dv$ なので、その位置の電位 $\phi$ を掛け算して、積分(足し算)します。

電荷が連続的に分布しているときの静電エネルギー:

$\displaystyle U=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\phi (r) dv$

という計算です。

4.6 *問題練習(静電エネルギー)

1問だけですが、問題練習をどうぞ。

問題21 (球の内部に分布した電荷)

半径の球の内部に一様に電荷が分布している(表面だけではないことに注意!)。分布している電荷の総量がであるとき、蓄えられている静電エネルギーを以下の手順で計算せよ。

(1) 球の中心からの距離をとして、電場 $\vec{E}(r)$ をの関数として表せ。

(2) 球の中心からの距離をとして、電位 $\phi(r)$ をの関数として表せ。

(3) 電荷が連続的に分布する場合の静電エネルギーは、

$\displaystyle U=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\phi (r) dv$

で求められる。ただし、ここでと書いてあるのは電荷が分布している領域を表し、 $\rho$ は電荷の分布密度を表している。この式を用いて、この球に蓄えられている静電エネルギーを計算せよ。

(4) 点電荷とは、一様に電荷が分布した半径0の球だと考えることができる。点電荷の静電エネルギーはどうなっているか、またそれは何か問題になっているだろうか、考察せよ。

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指示に従って(3)まで計算できれば、十分合格点だと思います。(計算はちょっと大変です)
多重積分ができるかどうかが問題かな。普通はという座標で積分することが多いですね。そのときはです。だけど、この問題では、3次元極座標 $(r,\theta,\varphi)$ というのを用いると、計算が少しやりやすくなります。
ちなみに、そのときの微小体積は、 $dv=(dr)(rd\theta)(rsin\theta d\varphi)$ になります。
(4)については、模範解答を敢えて示しませんので、いろいろ考えてみてください。直前の(3)で出した静電エネルギーの式でを0に近づけていくと、静電エネルギーは無限大になってしまいます。これは点電荷が蓄えている静電エネルギーが無限大ということですね。だけど、普段、点電荷が2つあるときの静電エネルギーは有限の値に収まっています。もしも無限大のエネルギーが出てくるならば、点電荷の考え方を使って静電エネルギーの計算をすること自体、奇妙なことになります。この辺りの矛盾(?)について、どう思うか考えてみてください。
ヒントだけ出しておくと…静電エネルギーはその電荷配置を作るのに必要な仕事でした。

　
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執筆者：山本明 ([物理屋さん]山本屋本舗提供の記事) 投げ銭受け付け中!